Velocidad de una Onda Transversal

Demostración en la cual la función y = A sen(κx) cos(ωt) satisface la ecuación de onda.

Derivando la función de onda en función de t y manteniendo x = cte, deducimos la velocidad transversal de cualquier partícula en una onda senosoidal en una cuerda.

Vy = |∂y/∂t|y = +ω A sen(kx − t)

Esto implica que la velocidad máxima será: ν = ωA.

Derivando una segunda vez deducimos la aceleración transversal:

∂y(x,y) = ∂²y(x,y)/∂t² = −ω² A sen(kx – ωt)

= −ω²y (x, t)

Este resultado es el mismo que el del MAS.

También podemos derivar en función de x , y manteniendo t = cte.

• Primera Derivada ∂y/∂x = Pendiente de la cuerda.
• Segunda Derivada ∂²y/∂x² = Curvatura de la cuerda.

La razón de ambas es igual a:

∂²y(x,y)/∂t² / ∂²y(x,y)/∂x² = ω²/k² = v²

De esta relación, deducimos la ecuación de Onda:

∂²y(x,y)/∂x² = (1/v²)(∂²y(x,t)/∂t²)

La densidad de masa lineal se denota con µ, y tiene las siguientes unidades [µ] = kg/m

Consideramos una cuerda perfectamente flexible. En la posición de equilibrio la tensión es F.

Si aplicamos una fuerza constante F_y al extremo opuesto, una onda se formará; la cual viaja a una velocidad ν (en el sentido x > 0).

Según el teorema impulso-cantidad de movimiento obtenemos: F_y t = m ν_y

Propagación de una onda transversal en una cuerda. (a) Cuerda en equilibrio; (b) parte de la cuerda en movimiento.

A partir del teorema impulso-cantidad de movimiento se deduce que:

F_y t = m ν_y

[F_y t]= [m ν_y]

[F_y t]= [N · s] = [kg (m/s²) · s]

[F_y t]= [kg · m/s] = [m · v]

En el instante t , el punto del extremo izquierdo tiene una altura ν_yt , y el y frente de la perturbación (en el punto P) ha avanzado una distancia νt.

La fuerza total para estirar la cuerda (la tensión aumenta un poco) tiene las componentes Ft y F_y , y una amplitud (F²_t − F²_y). Por lo tanto: 

F_y/F_y = v_yt/vt ≈ F_y = Ft (v_y/v)

El impulso transversal es:

F_y t = F_t (vy/v) t 

La masa desplazada es m = µ · L = µνt ([m] = [kg/m · m/s · s] = [kg]) de s modo que la cantidad de movimiento transversal es mv_y = µνtv_y

Igualando esta expresión al impulso transversal obtenemos:

Ft(v_y/v)t = µνtv_y

Deducimos la velocidad de la onda:

v = (F/µ)^-1/2

La velocidad de la onda (propagación de la perturbación) aumenta con la tensión (la fuerza que restablece el equilibrio) y disminuye con la masa (la inercia).