Condición de Frontera y Principio de Superposición

CONDICIÓN DE FRONTERA

En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en las fronteras, a esto denominamos “eco”. El eco es una onda que viaja en sentido opuesto a la onda incidente. La onda incidente y el eco se pueden sobreponer, a esto denominamos como interferencia. 

Si las reflexiones se repiten, solo pueden ocurrir ondas senosoidales para ciertas frecuencias especiales, determinadas por las propiedades y dimensiones del medio, a esto se denomina como modos normales. 

El ejemplo más sencillo es una onda transversal en una cuerda estirada.

Serie de imágenes de un pulso ondulatorio, tomadas a intervalos iguales de arriba hacia abajo. El pulso comienza a la izquierda.

En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en las fronteras, a esto denominamos “eco”.

La reacción (tercera ley de Newton) será un pulso reflejado que viajará en la dirección opuesta al pulso incidente con desplazamiento opuesto.

Si el extremo es libre, de nuevo un pulso reflejado viajará en dirección opuesta, pero con un desplazamiento en la misma dirección que el pulso incidente.

   

Reflexión de un pulso ondulatorio (a) en un extremo fijo de la cuerda y (b) en un extremo libre. El tiempo aumenta desde la figura superior a la inferior.

Las condiciones en los extremo son las denominadas condiciones de frontera. La situación es la misma si dos pulsos viajan en sentidos opuestos. Al traslaparse los pulsos, el desplazamiento será la suma algebraica de los desplazamientos individuales.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de una cuerda, en cualquier instante, se obtiene sumando los desplazamientos separados.

con i = 1, 2

Matemáticamente esta propiedad aditiva es una consecuencia de la forma de la ecuación de onda. Específicamente, la ecuación es lineal, es decir que solo contiene funciones a la primera potencia. Por tanto, si dos funciones satisfacen la ecuación de onda, su suma también satisface la ecuación de onda.

Solapamiento de dos pulsos ondulatorios que viajan en direcciones opuestas con uno de los pulsos invertido respecto al otro.

Solapamiento de dos pulsos ondulatorios que viajan en direcciones opuestas sin inversi´on de un pulso. El tiempo aumenta desde arriba hacia abajo.

Energía en el Movimiento Ondulatorio

Consideremos una cuerda sujeta a un diapasón. Cuando este vibra transfiere energía al segmento de cuerda unido a él.

Por ejemplo: Cuando el diapasón se desplaza de su posición de equilibrio, estira el segmento aumentando su energía potencial y transfiere una velocidad transversal al segmento, incrementando su energía cinética. Cuando una onda se mueve a lo largo de la cuerda, la energía se transmite por esta a los restantes segmentos.

La potencia es la tasa de transferencia de energía. La potencia se calcula determinando la tasa con que realiza trabajo la fuerza que en un segmento de cuerda ejerce sobre un segmento vecino.

La tensión F_y que actúa sobre el extremo izquierdo del segmento es tangente a la cuerda. Para calcular la potencia transferida por esta fuerza usamos la formula P = F_y · v_y , v_y es la velocidad transversal, es la velocidad del extremo del segmento. Expresando los vectores, es decir F_{t =} F_txî + F_tyĵ y vt = v_yĵ , con lo cual P = F_ty · v_y

_{Onda armónica moviéndose hacia la derecha a través de un segmento de cuerda.}

P = F_tκωA²cos(κx − ωt)

Sustituyendo F = µν , κ = ω/v y ω  = kv

P = µνω²A²cos²(κx − ωt) 

_{en donde ν es la velocidad de la onda. La potencia media es}

P_m = (1/2) µνω²A² 

a que el valor medio de cos²(κx − ωt), si se calcula el promedio sobre un periodo entero del movimiento manteniendo x constante, es 1/2.

_{Onda armónica moviéndose hacia la derecha a través de un segmento de cuerda durante un tiempo ∆t.}

_{La energía recorre la cuerda a la velocidad de la onda ν, por lo que la energía media (∆E) que fluye por un punto P durante el tiempo ∆t es:}

(∆E )_m = P_m∆t = (1/2) µνω²A²∆t

Esta energía se distribuye a lo largo de una distancia ∆x = ν∆t , de modo que la energía media en ∆x es:

(∆E )_m= (1/2) µω²A²∆x

Observe que tanto la potencia media como la energía media transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda.

Descripción Matemática de una Onda

Introducimos la función de onda como una función matemática, que describe la posición de cualquier partícula en un medio en cualquier instante de tiempo.

y = y (x , t)

Para una cuerda: El movimiento cíclico de diversos puntos de la cuerda están desfasados uno con respeto a otro en diversas fracciones del ciclo, a estos los llamamos = diferencia de fase.

La diferencia de fase debido al movimiento difiere para distintos puntos.

Onda senosoidal transversal que viaja a la derecha a lo largo de una 1/8 cuerda.

La función de onda cuando el desplazamiento es, x = 0, se describe como:

y(0, t) = A sen(−ωt) = A sen(−2πf t)

En t = 0, y = 0, el punto se mueve en la dirección +y .

La perturbación viaja desde x = 0 hacia algún otro punto x , a la derecha en un tiempo t = x/ν.

Así el movimiento del punto y en un instante t es el mismo que el movimiento del punto x = 0 en el instante t − x/ν.

y(x , t) = A sen (−ω (t − x/ν))

= A sen (−2πf (t − x/ν))

= A sen (2πf (x/v − t)) = A sen (2π (fx/ν − ft))

donde 1/λ = f /ν y f = 1/T. En términos del periodo T y la longitud de onda λ:

 y(x , t) = A sen (2π (x/λ − t/T))

Utilizando el número de onda, κ = 2π/λ, y como , λ = , f = , y ν = λf.

Obtenemos que ω = νκ, por lo tanto la función de onda queda como:

y(x , t) = A sen(κx − ωt)

donde [ω] = rad/s,  y [κ] = rad/m

Si la onda viaja en la dirección:

y(x, t) = A sen (2πf (x/v + t))

y(x, t) = A sen (2π (x/λ + t/T))

La cantidad ωt ±−κx es la fase.

La rapidez de la onda es la rapidez en que tenemos que movernos para mantenernos junto a un punto con una fase dada.

Para una onda viajando hacia x > 0, κx −−ωt = cte.

Derivando respeto a t:ω = κ(dx/dt) o (dx/dt) = w/k es la velocidad de la fase.

Tipo de Ondas Mecánicas

Una Onda Mecánica es una perturbación que viaja por un material o sustancia que es un medio de la onda.

Por ejemplo, cuando se pulsa una cuerda tensa, la perturbación provocada se propaga a lo largo de la misma en forma de un pulso ondulatorio. Esta perturbación consiste en la variación de la forma de la cuerda a partir de su estado de equilibrio.

Al viajar la onda por el medio, las partículas que forman el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda.

Cuando la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación se denomina onda transversal, y cuando la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denomina onda longitudinal.

Desplazamiento perpendicular de las partículas = "Ondas Transversales"

Desplazamiento hacia adelante de las partículas = "Ondas Longitudinales"

Desplazamiento perpendicular y hacia delante de las partículas = "Suma de ondas transversales y longitudinales"

En general la perturbación se propaga a una rapidez definida: rapidez de la onda. La velocidad de propagación es determinada por las propiedades mecánicas del medio.

Nota: La rapidez de la onda, no es la rapidez del movimiento de las partículas del medio, sino la velocidad de propagación de la perturbación.

Para producir la perturbación y poner el sistema en movimiento se necesita aportar energía. La onda transporta esta energía de una región del medio a otra.

EJEMPLO

Pulso en una cuerda en el instante T = 0. La forma de la cuerda en este instante puede representarse por una función y = f (x).

Cierto tiempo después, el pulso se ha desplazado por la cuerda, de modo que en un nuevo sistema de coordenadas con origen O¹ que se mueve con la velocidad del pulso, éste es estacionario.

La cuerda se describe en este nuevo sistema por f (x¹) en todo instante. Las coordenadas de los dos sistemas de referencia están relacionadas por x = x¹ + νt y por lo tanto f (x¹ ) = f (x − νt)

Así pues, el desplazamiento de la cuerda en el sistema original O puede escribirse y = f (x − νt). Dicha función se denomina función de onda.

En el caso de ondas en una cuerda, la función de onda representa el desplazamiento transversal de la cuerda.

Para las ondas sonoras en el aire, la función puede ser el desplazamiento longitudinal de las moléculas gaseosas o la presión del aire.

Estas funciones de onda son soluciones de una ecuación diferencial llamada ecuación de onda.