Dinámica del Movimiento Circular

Ecuación de la dinámica del movimiento circular

En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos visto que la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente de dirección. El móvil tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro de la trayectoria, denominada aceleración normal y cuyo módulo es

La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de las fuerzas F que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al producto de la masa m por la aceleración normal a_n.

F = m a_n

En el applet de más abajo, simulamos una práctica de laboratorio que consiste en medir con ayuda de un dinamómetro la tensión de la cuerda que sujeta a un móvil que describe una trayectoria circular.

El dinamómetro está situado en el eje de una plataforma móvil y su extremo está enganchado a un móvil que gira sobre la plataforma.

Sistema de Referencia Inercial

Desde el punto de vista de un observador inercial, el móvil describe un movimiento circular uniforme. El móvil cambia constantemente la dirección de la velocidad, aunque su módulo permanece constante. La fuerza necesaria para producir la aceleración normal es:

F=mw²R

Esta será la fuerza que mide el dinamómetro.

Sistema de Referencia No Inercial

Desde el punto de vista del observador no inercial situado en el móvil, éste está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas. La tensión de la cuerda F y la fuerza centrífuga Fc. La fuerza centrífuga es el producto de la masa por la aceleración centrífuga.

Fc=mw²R

La fuerza centrífuga, no describe ninguna interacción entre cuerpos, como la tensión de una cuerda, el peso, la fuerza de rozamiento, etc. La fuerza centrífuga surge al analizar el movimiento de un cuerpo desde un Sistema de Referencia No Inercial (acelerado) que describe un movimiento circular uniforme.

Fuerza de Fricción

La fuerza de fricción se opone al movimiento. En el caso de dos superficies en contacto, es proporcional a la magnitud de la fuerza normal N, según la siguiente ecuación:

f = μN

con μ el coeficiente de fricción (estático)

En un plano inclinado, un cuerpo; sobre él siente tres fuerzas: su peso, la normal y la de fricción.

Si la resultante de estas tres fuerzas tiene componente vertical negativa, la fuerza de fricción no podrá mantener fijo el cuerpo y este caerá.

La fuerza de fricción se da a partir del contacto entre dos cuerpos.

En realidad, éste efecto siempre está presente en el movimiento de un cuerpo debido a que siempre se desplaza haciendo contacto con otro (el aire en la mayoría de los casos); en algunos casos, éste efecto es muy pequeño y es una buena aproximación despreciar su valor, pero en otros, es necesario tomar en cuenta ésta fuerza, debido a que determina el valor del movimiento.

Fricción cinética.

Cuando un cuerpo descansa sobre una superficie, podemos expresar la fuerza de contacto (por tercera ley del movimiento) en términos de sus componentes paralela y perpendicular a la superficie: la componente perpendicular es la fuerza normal N y la paralela a la superficie es la de fricción Ff. La dirección de Ff siempre es opuesta al movimiento relativo de las dos superficies.

El tipo de fricción que actúa cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie es la fuerza de fricción cinética, Ffk(*). Ésta fuerza es proporcional a la normal: Ffk α N.

La constante de proporcionalidad para la relación anterior recibe el nombre de coneficiente de fricción cinética µk y su valor depende de la superficie: mientras mas lisa (como el lago congelado del ejemplo de la lección anterior) es la superficie, menor será el valor de la constante.

Entonces, la fuerza de fricción cinética se define como:

Ffk = µk * N

Ésta es una ecuación escalar y válida solo para las magnitudes de las componentes de la fuerza de contacto.

La fuerza de fricción también puede actuar cuando no hay movimiento. En éste caso recibe el nombre de fuerza de fricción estática "Ffs".

Suponga que una persona empuja una caja sobre el piso tratando de moverla, pero no lo consigue, debido a que el piso ejerce una fuerza Ffs. Ésta fuerza también es proporcional a la normal y la constante de proporcionalidad se conoce como coeficiente de fricción estática µs.

En algún punto, Ff es mayor que µs*N, que es cuando hay movimiento y Ff es Ffk = µk * N. Pero, mientras no exista movimiento, Ff es:

Ffs ≤ µs * N.

Es decir, Ffs está entre 0 y (µs * N).

Modos Normales(vibración) de una Cuerda

Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda.

MODOS DE VIBRACIÓN DE UNA CUERDA SUJETA POR AMBOS EXTREMOS

Una cuerda horizontal está sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelga un platillo en el que se ponen pesas. Una aguja está sujeta al centro de la membrana de un altavoz y por el otro extremo está sujeta a la cuerda. La aguja empieza a vibrar cuando se conecta el altavoz al generador de ondas.

Tenemos un sistema oscilante, la cuerda, y la fuerza oscilante proporcionada por la aguja. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente, estamos en una situación de resonancia.

Nuestra experiencia simulada, difiere de la experiencia en el laboratorio, en que no cambiamos directamente la tensión de la cuerda sino la velocidad de propagación de las ondas.

Donde T es la tensión de la cuerda y m la densidad lineal de la cuerda.

Una vez establecida la velocidad de propagación, o la tensión de la cuerda,  se debe cambiar la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilación de la cuerda.

Una vez encontrada la frecuencia del primer modo de vibración, se pueden buscar rápidamente los restantes: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente.

f₁ modo fundamental

f_n = nf₁ armónicos n = 2, 3, 4....

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Cuando una onda es reflejada continuamente por los extremos, se produce un fenómeno de interferencia. 

La configuración de la onda permanece en la misma posición y su amplitud fluctúa. Hay puntos que nunca se mueven: nodos. 

A la mitad del camino entre dos nodos hay puntos donde la amplitud es máxima: antinodos. Como la configuración no parece moverse, a este hecho se le conoce como: onda estacionaria.

1. (a)-(d) Exposiciones de tiempo de ondas estacionarias en una cuerda estirada.
2. (a)-(d) La frecuencia de oscilación del extremo derecho aumenta, y λ de la onda estacionaria disminuye.
3. (e) Extremos del movimiento de la onda estacionaria de (b), con los nodos en el centro y en los extremos.

Consideramos dos ondas de misma λ y A, viajando en sentido inverso. En un nodo, los desplazamientos son iguales y opuestos y se cancelan: interferencia destructiva.

En un antinodo, los dos desplazamientos siempre son idénticos dando un desplazamiento resultante grande: interferencia constructiva.

La distancia entre dos nodos o antinodos sucesivos es λ/2

Consideremos dos ondas (siguiendo a Sears & Zemansky’s):

y₁(x , t) = −A cos(κx + ωt), viajando hacia la izquierda.

y₂(x , t) = A cos(κx − ωt), viajando hacia la derecha.

La onda reflejada es inversa y por tanto tiene una amplitud inversa. Sumando las dos ondas:

y (x , t) = y₁(x , t) + y₂(x , t) = −A cos(κx + ωt) + A cos(κx − ωt)]

= A[−cos(κx + ωt) + cos(κx − ωt)]

Usando la identidad: cos(a ± b) = cos (a) cos (b) ∓ sen (a) sen (b) y expandiendo

 −cos(κx + ωt) =  −cos(κx) cos(ωt) + sen(κx) sen(ωt) 

y cos(κx −ωt) = cos(κx) cos(ωt) + sen(κx) sen(ωt)

La función de onda estacionaria:

y (x , t) = 2A sen(κx) sen(ωt)

y (x , t) = A_oe sen(κx) sen(ωt)

donde la amplitud A_oe = 2A

El factor 2A sen(κx) indica que en cada instante, la forma de la cuerda es senosoidal.

La onda estacionaria no transfiere energía. Hay un flujo local de energía desde cada nodo a los antinodos adyacentes y de regreso, pero la razón media de transferencia de energía es 0.

lnterferencia de Ondas

Una onda estacionaria es un ejemplo de interferencia de ondas. También hay interferencias en el caso de ondas viajeras. 

La interferencia hace que el flujo de energía se canalice en determinada dirección. Al contrario de una onda estacionaria, el modo de desplazamiento también es un modo de presión.

En esta condición, ocurre interferencia constructiva siempre que las distancias recorridas por dos ondas difieren en un número entero de longitud de onda:

∆d_{(constructiva)} = 0, λ, 2λ, 3λ, ...

Ocurre interferencia destructiva siempre que las distancias recorridas por dos ondas difieren en un número medio de longitud de onda:

∆d_{(destructiva)} = λ/2, 3λ/2, 5λ/2, ...

Se usa este fenómeno para controlar el ruido que proviene de fuentes de sonido muy fuertes. Se usa fuentes de sonido adicional que interfiere de manera destructiva.

 

Dos altavoces alimentados por el mismo amplificador, que emiten ondas en fase. (a) Hay interferencia constructiva. (b) Hay interferencia destructiva.

Velocidad de una Onda Transversal

Demostración en la cual la función y = A sen(κx) cos(ωt) satisface la ecuación de onda.

Derivando la función de onda en función de t y manteniendo x = cte, deducimos la velocidad transversal de cualquier partícula en una onda senosoidal en una cuerda.

Vy = |∂y/∂t|y = +ω A sen(kx − t)

Esto implica que la velocidad máxima será: ν = ωA.

Derivando una segunda vez deducimos la aceleración transversal:

∂y(x,y) = ∂²y(x,y)/∂t² = −ω² A sen(kx – ωt)

= −ω²y (x, t)

Este resultado es el mismo que el del MAS.

También podemos derivar en función de x , y manteniendo t = cte.

• Primera Derivada ∂y/∂x = Pendiente de la cuerda.
• Segunda Derivada ∂²y/∂x² = Curvatura de la cuerda.

La razón de ambas es igual a:

∂²y(x,y)/∂t² / ∂²y(x,y)/∂x² = ω²/k² = v²

De esta relación, deducimos la ecuación de Onda:

∂²y(x,y)/∂x² = (1/v²)(∂²y(x,t)/∂t²)

La densidad de masa lineal se denota con µ, y tiene las siguientes unidades [µ] = kg/m

Consideramos una cuerda perfectamente flexible. En la posición de equilibrio la tensión es F.

Si aplicamos una fuerza constante F_y al extremo opuesto, una onda se formará; la cual viaja a una velocidad ν (en el sentido x > 0).

Según el teorema impulso-cantidad de movimiento obtenemos: F_y t = m ν_y

Propagación de una onda transversal en una cuerda. (a) Cuerda en equilibrio; (b) parte de la cuerda en movimiento.

A partir del teorema impulso-cantidad de movimiento se deduce que:

F_y t = m ν_y

[F_y t]= [m ν_y]

[F_y t]= [N · s] = [kg (m/s²) · s]

[F_y t]= [kg · m/s] = [m · v]

En el instante t , el punto del extremo izquierdo tiene una altura ν_yt , y el y frente de la perturbación (en el punto P) ha avanzado una distancia νt.

La fuerza total para estirar la cuerda (la tensión aumenta un poco) tiene las componentes Ft y F_y , y una amplitud (F²_t − F²_y). Por lo tanto: 

F_y/F_y = v_yt/vt ≈ F_y = Ft (v_y/v)

El impulso transversal es:

F_y t = F_t (vy/v) t 

La masa desplazada es m = µ · L = µνt ([m] = [kg/m · m/s · s] = [kg]) de s modo que la cantidad de movimiento transversal es mv_y = µνtv_y

Igualando esta expresión al impulso transversal obtenemos:

Ft(v_y/v)t = µνtv_y

Deducimos la velocidad de la onda:

v = (F/µ)^-1/2

La velocidad de la onda (propagación de la perturbación) aumenta con la tensión (la fuerza que restablece el equilibrio) y disminuye con la masa (la inercia).

Ondas Periódicas

La onda transversal en una cuerda estirada es un ejemplo de un pulso de onda. El resultado es un solo pulso que viaja a lo largo de la cuerda.

Ocurre una situación más interesante cuando imprimimos al extremo libre de la cuerda un movimiento repetitivo, o periódico. Entonces, cada partícula de la cuerda tendrá un movimiento periódico al propagarse la onda, y tendremos una onda periódica.

En particular, suponga que movemos verticalmente la cuerda con un movimiento armónico simple (MAS) de amplitud A, frecuencia f , frecuencia angular ω = 2 π f  y periodo T = 1/f = 2 π/ω. Como veremos, las ondas periódicas con MAS son especialmente fáciles de analizar; las llamamos ondas senosoidales.

El bloque de masa m está unido a un resorte y tiene un movimiento armónico simple, produciendo una onda senosoidal que viaja a la derecha sobre la cuerda.

Las ondas armónicas constituyen la clase más básica de las ondas periódicas. Si una onda armónica se mueve por un medio, cada punto del medio oscila siguiendo un movimiento armónico simple.

Si un extremo de una cuerda se sujeta a una masa que esta oscilando con movimiento armónico simple, se produce un tren de onda senosoidal que se propaga a lo largo de la cuerda.

La forma de la cuerda es la de una función senosoidal, como se muestra en la figura. La distancia mínima recorrida en el espacio hasta que la función de onda se repite se llama longitud de onda λ.

Cuando la onda se propaga por la cuerda, cada punto de la misa se mueve hacia arriba y hacia abajo realizando un movimiento armónico simple cuya frecuencia f es la del resorte.

Durante un periodo T = 1/f , la onda se mueve una distancia de una longitud de onda, de modo que la velocidad de propagación viene dada por ν = λ/T = f λ.

Como esta relación surge de las definiciones de longitud de onda y frecuencia, es válida para todas las ondas armónicas. La función senosoidal que describe los desplazamientos en la figura, es

y(x) = A sen (2π(x/λ) + δ λ )

en donde A es la amplitud, λ la longitud de onda y δ una constante de fase, que depende de la elección del origen x = 0. Esta ecuación se expresa de forma más sencilla como

y(x) = A sen(κx + δ)

en donde κ, es el n´umero de onda, viene dado por

κ = 2π/λ

Observese que las dimensiones de κ son m^-1 (como el ángulo debe expresarse en radianes a veces se describen las unidades de κ en la forma rad · m^-1). Cuando se trata con una única onda armónica se suele elegir el origen de modo que δ = 0.

Para escribir una onda que se mueve en el sentido creciente de x con velocidad ν, sustituyamos x en la ecuación por x − νt . Eligiendo δ igual a cero se obtiene

y(x) = A sen[κ(x − νt)] = A sen(κx − κνt)

y

y(x) = A sen(κx − ωt)

Función de Onda Armónica, en donde

ω = κν

Es la frecuencia angular y el argumento de la función seno, (κx − ωt), se denomina fase. La frecuencia angular está relacionada con la frecuencia f , y el periodo T mediante

ω = 2πf = 2π/T

Sustituyendo ω = 2πf en la ecuación y utilizando κ = 2π/λ, se obtiene

2πf = κν = (2π/λ) ν

donde ν = f λ, que es la ecuación.